Residual transfer in fuzzy Algebraic structures

Abstract

Cette thèse tente une combinaison de trois domaines importants des mathématiques, à savoir l’algèbre universelle, la théorie des résidus et la théorie des ensembles flous. Une sous-algèbre floue d’une algèbre universelle A := (A; FA) de type F sous un treillis résidué L := (L; ^; _; ; ; (; 0; 1), appelée une L-sous-algèbre floue de A, est une application de A vers L qui est ^-compatible avec les opérations fondamentales de A. Cette notion a été introduite par V. Murali [29] en 1991, sous l’intervalle unité [0; 1] des nombres réels, et généralisée par B. Se selja [35] en 1996, sous les ensembles partiellement ordonnés. Étant donnés un treillis résidué L et une algèbre universelle A de type F avec un treillis résidué Sub(A) := 􀀀 Sub(A); \; t; ; !; ; Sg(;); A sur l’ensemble de ses sous-univers, l’ensemble Fu(A; L) des L-sous-ensembles flous de A forme un treillis résidué Fu(A; L) := 􀀀 Fu(A; L); ^; _; ; ; (; 0; 1 qui prolonge à la fois L et l’algèbre de Boole P(A) des sous-ensembles de A. L’ensemble Fs(A; L) des L-sous-algèbres floues de A forme un treillis borné Fs(A; L) := 􀀀 Fs(A; L); ^; t; Sg(;); 1 , mais pas nécessairement un treillis résidué, qui prolonge à la fois les treillis bornés de L et Sub(A). Lorsque L est une algèbre de Brouwer finie et linéairement ordonnée, Fs(A; L) forme un treillis résidué algébrique Fs(A; L) := 􀀀 Fs(A; L); ^; t; ; ,!; #; Sg(;); 1 qui prolonge à la fois L et Sub(A). La condition sur le treillis résidué L du résultat précédent étant plutôt restrictive, il est naturel de chercher des classes d’algèbres pour lesquelles cette dernière est plus générale. Dans cette thèse, deux solutions à ce problème sont proposées, dans les classes des algèbres mono-unaires et des anneaux, et certaines de leurs propriétés sont étudiées.