Systèmes différentiels extérieurs et applications aux problèmes inverses

Abstract

Les travaux présentés dans cette thèse portent d’une part sur l’utilisation du calcul différentiel extérieur dans des problèmes d’optimisation, et notamment dans des problèmes inverses dans lesquels on cherche des conditions pour que des fonctions données soient solutions de problèmes d’optimisation, et d’autre part à quelques problèmes inverses issus du calcul des variations. La première partie est occupée par une introduction au calcul différentiel extérieur, dont une grande partie est consacrée au théorème de Cartan-Kähler, qui, aujourd’hui est devenu un outil puissant dans la résolution de beaucoup de problèmes d’identification qui apparaissent en économie. Dans la deuxième partie, on présente une approche différentielle du problème de Sonnenschein (voir, H.Sonnenschein, The utility hypothesis and market demand theory, Western Economic Journal 11 (1973), p. 404-410), problème classique en sciences économiques, où sa motivation consiste à voir dans quelles conditions une fonction de demande collective résulte-t-elle du fonctionnement d’un marché organisé ? Des conditions nécessaires non triviales ont été connues depuis les années 70 mais leur suffisance n’avait jamais été établie. Avec l’aide du calcul différentiel extérieur, une réponse positive est donnée dans ce travail. La troisième partie est une étude du problème de Douglas (J. Douglas, Solution of the Inverse Problem of the Calculus of Variations, Trans. Amer. Math. Soc. 50 (1941), 71-128), qui consiste à classifier les courbes extrémales à un problème de calcul des variations. Dans ce travail, nous avons donné une approche différentielle du problème de Douglas. Des résultats connus (existence en dimension un et non existence en dimension deux) ont été retrouvés. L’approche utilisée nous a aussi permis de mieux comprendre, qu’en dimension deux, la non existence peut s’expliquer à travers certaines conditions supplémentaires. Dans la quatrième et dernière partie, on étudie un problème inverse en calcul des variations. Il s’agit de la reconstitution de certains opérateurs, définis entre espaces fonctionnels, à travers des problèmes de calcul des variations. Des conditions nécessaires et suffisantes ont été établies grâce à des méthodes outres issues de l’optimisation et de l’analyse fonctionnelle. Les résultats obtenus fournissent un point de départ prometteur vers une extension de certains résultats d’intégration (voir, E.Slutsky, Sulla teoria del bilancio del consomatore, Giornale degli Economisti et Rivista di Statistica, 3, 51, p.1-26, 1915) dans la théorie du consommateur en dimension infinie.