ETUDE DE QUELQUES CLASSES DE BIFILTRATIONS D’ANNEAUX ET DE QUELQUES ANNEAUX BIGRADUES ASSOCIES A UNE BIFILTRATION. CLASSIFICATION DES BIFILTRATIONS

Abstract

Nous avons dans notre thèse, étendu la notion de filtration initialement définie sur ℕ ou ℤ muni de l’ordre naturel <, à une notion de filtration indexée sur ℤ avec l’ordre naturel qui est partiel. Cette nouvelle filtration est appelée bifiltration. Du fait même que l’ordre naturel sur ℤ ne soit plus total, les propriétés déjà connues dans le cas des filtrations ne se transcrivent pas aisément dans le cas des bifiltrations. D’où l’importance de notre travail. Nous avons su transcrire beaucoup de définitions et propiétés de filtrations aux bifiltrations, et notamment trouvé la bonne notion de réduction de bifiltration et une classe de bifiltrations dites de type IEP, qui ouvre sur une correspondance bijective entre : pour une bifiltration F de type IEP donnée d’un anneau A, l’ensemble des bifiltrations G de type IEP de A telles que F soit une réduction de G, et l’ensembles de tous les sous-anneaux bigradués S de A[u, v, X, Y], extensions entières de type fini de ℛ(A, F) l’anneau de Rees généralisé associé à F. Sur les bigraduations de modules aussi, un travail a été fait et des résultats nouveaux obtenus. Ces importants résultats ouvrent de nombreuses pistes exploitations de cette correspondance avec : les exemples diversifiés et propriétés algébriques remarquables des bifiltrations de types IEP, que nous apportons dans notre thèse. Notre thèse est composée de cinq chapitres. Dans les 3 premiers chapitres nous rappelons les résultats nécessaires à la compréhension de notre thèse. En réalité, nos résultats originaux se trouvent dans les chapitres 4 et 5. Tous les concepts introduits et étudiés dans les chapitres 4 et 5 sont entièrement nouveaux. Il s’agit de : - sous-anneau de Véronèse d’un anneau bigradué - Anneaux de Rees d’une bifiltration - bifiltrations EP - bifiltrations fortement EP - bifiltrations noethériennes - bifiltrations fortement noethériennes - Réduction de bifiltrations - bifiltrations F-bonnes - bifiltrations F-fines Au chapitre 4, nous introduisons et étudions de manière comparative quelques classes de bifiltrations. Conformément à une tradition pratiquée en théorie des Filtrations, nous étudions quelques relations binaires entre bifiltrations comparables. C’est ainsi que nous introduisons le concept de réduction de bifiltrations et montrons comment ce concept est exploitable dans la classe des bïfiltrations à indices essentiellement positifs que nous appelons bifiltratîons de type IEP. Cette classe de bïfiltrations que nous avons introduite nous a permis d’avoir l’analogue des résultats connus pour les filtrations. Nous étudions également un deuxième concept de réduction de bïfiltrations que nous appelons -réductïon à l’ïnstar des filtrations et en donnons des caractérisations. Nous introduisons aussi les notions de bifiîtration F-bonne et F-fine. où F est une bifiîtration de type IEP de l’anneau puis nous établissons le lien avec les deux types de réduction de bïfiltrations. Le résultat le plus important de notre thèse est le Théorème 5.3 et ses trois corollaires du chapitre 5, qui a d'ailleurs été publié dans une revue internationale. Ce théorème donne un critère important de réduction des bifilrations à partir de leurs anneaux de Rees généralisés. Le Théorème 5.3n’était pas facile à montrer. On dévine que c’est pour les besoins de la démonstration de ce théorème que nous avons créé la notion de bifiîtration de type IEP de l’anneau qui est une notion tout à fait nouvelle en théorie des bifiltratîons. Après avoir introduit un concept de dépendance intégrale forte d’une bifiltration G sur une bifiîtration F. Nous terminons notre thèse en donnant un critère de dépendance intégrale forte de G sur F en terme de -réduction, ou de réduction ou par le fait que la bifiîtration G soit F-bonne.