Stabilité exponentielle, approximation du spectre et dissipativité numérique d'une poutre flexible d'Euler-Bernoulli

Abstract

Dans cette thèse, on considère une poutre flexible d’Euler-Bernoulli encastrée à une extrémité et soumise à l’extrémité libre à un contrôle force en rotation et en vitesse de rotation. Ce système appartient à la classe des systèmes dynamiques de dimension infinie. L’objectif poursuivi consiste à étudier le caractère bien posé au sens des C0-semi-groupes, le spectre, la stabilité exponentielle et la dissipativité numérique de ce système. La première partie de cette thèse est composée de deux chapitres. Le premier est consacré à la stabilisation de cette poutre à coefficients variables. Nous montrons que le contrôle force en rotation et en vitesse de rotation stabilise exponentiellement le système. Dans le second, nous ajoutons au système étudié au premier chapitre, un amortissement dont le coefficient est une fonction qui n’est pas de signe constant. La question qui se pose naturellement est de savoir si une telle fonction pourrait avoir une mauvaise influence sur la stabilité exponentielle de ce nouveau système. Nous donnons des conditions pour qu’il soit exponentiellement stable. La deuxième partie se décompose en deux chapitres. Le premier développe une méthode numérique qui conserve fidèlement les propriétés obtenues dans le cas continu telles que la stabilité et la dissipativité de la fonction de Lyapunov. La discrétisation du système se fait en deux étapes : une première méthode numérique semi-discrète est obtenue en utilisant la méthode des éléments finis pour la discrétisation dans l’espace, et dans la deuxième étape, un schéma numérique totalement discrétisé est obtenu en se servant du schéma de Crank-Nicolson pour la discrétisation dans le temps. Chaque schéma numérique est développé en conservant l’argumentation de dissipativité. Par ailleurs, la convergence de la méthode est montrée et des estimations d’erreur a priori sont obtenues. Le deuxième présente des simulations numériques. Par la méthode des éléments finis, nous illustrons l’influence des paramètres de contrôles rétroactifs à la frontière sur le spectre approché. En outre, l’ordre de convergence des méthodes numériques obtenu dans le premier chapitre de la deuxième partie est confirmé.

In this thesis, we consider a flexible Euler-Bernoulli beam clamped at one end and subjected to a force control in rotation and velocity rotation. This system belongs to the class of infinite dimensional dynamic systems. The goal of the two parts of this thesis is to study the well-posedness character in the sense of the C0-semigroups, the spectrum, the exponential stability and numerical dissipativity of this system. The first part of this thesis is composed of two chapters. The first chapter is about stabilization of this beam with variable coefficients. We show that the force control in rotation and velocity rotation stabilizes exponentially the system. In the second, we add to the system studied in the first chapter, a damping whose coefficient is a function which changes sign. The natural question is whether such a function could have a bad influence on the exponential stability of the new system. We give conditions for obtain the exponential stablility. The second part is divided into two chapters. The first chapter develop a numerical method which faithfully reproduces some properties obtained in the continuous case such as stability and dissipativity of Lyapunov function. The discretization of the system is performed in two steps : first a semi-discrete numerical method is obtained using the finite element method for the discretization in space, and in the second step, a fully discrete scheme is obtained using the Crank-Nicolson scheme for discretization in time. The two numericals schemes are developed, followed by the dissipativity argumentation. Furthermore, the convergence of the method is shown and a-priori error estimates are obtained. The second chapter presents the simulations results. By finite elements method, we illustrate the influence of boundary feedback controls on approximate spectrum. Moreover, the order of convergence (o.o.c) of numerical method in both space and time obtained in the first chapter of second part is confirmed.