Solutions semi-globales de problèmes de Goursat semi-linéaires hyperboliques. Partie I : Solutions semi-globales du système intégral des formules de Kirchhoff associées

Abstract

Le but ultime de ce travail est d'établir pour des systèmes semi-linéaires hyperboliques du second ordre, astreints à des hypothèses de structure assez générales sur les termes non linéaires, et `a données initiales portées par la réunion de deux hyper- surfaces caractéristiques sécantes, l’existence et l’unicité de la solution définie non seule- ment dans un voisinage assez petit de la sécante (solution locale, Cf. résultats antérieurs [26], [27], [29], [30]), mais aussi dans un voisinage de la réunion toute entière des hyper- surfaces initiales (solution semi-globale). Pour ce faire, on est amen ́e tout d’abord `a montrer que le système intégral des formules de Kirchhoff associées au problème considère admet une unique solution, dans un espace de fonctions continues et bornées, par la méthode du point fixe. Cette solution est définie dans un voisinage de la réunion toute entière des hypersurfaces qui portent les données initiales. Dans un second article (Partie II), on se propose de combiner le résultat d’existence semi-globale ainsi obtenu pour le système des formules de Kirchhoff aux techniques classiques d’existence locale de [26],[27],[29], [30],[35],[36] dans le but d’ ́établir, dans un cadre d’espaces de Sobolev à poids, des estimations a priori pour les solutions locales du problème de Cauchy caractéristique considéré. On peut ainsi déduire le résultat d’existence semi-globale annonce pour ce problème.