Contrôle optimal d'équations différentielles stochastiques par le principe du maximum

Abstract

Ce document traite du contrôle optimal d’équations différentielles stochastiques en utilisant le principe du maximum. Nous considérons le problème où une fonction de coût, composée d’une intégrale sur un horizon de temps fini et d’un terme de coût terminal est minimisée . Le processus stochastique (Xt)t>0 est régi par une équation différentielle de la forme dXt = b(t;Xt; ut)dt + (t;Xt; ut)dWt où b est une fonction déterministe ,(Xt)t>0 le processus stochastique , (Wt)t>0 un mouvement brownien standard. Le but est de trouver une stratégie optimale u qui minimise une fonction de coût. L’approche utilisée pour résoudre le problème est le principe du maximum qui consiste sous certaines conditions à trouver la variable minimisant l’hamiltonien issu du système hamiltonien. Une expression explicite de la stratégie optimale est donnée notamment dans le cas des jeux linéaires quadratiques à champ moyen. Au bout de ce travail, des perspectives prometteuses s’ouvrent pour l’optimisation et la planification des environnements dynamiques et incertains.