Mathematical modelling and analysis of spatio-temporal models dedicated to tree-grass dynamics in humid savannas

Abstract

DAnslesécosystèmeshumidesle biome de végétation englobe des physionomies auto-organisées qui décrivent des processus dynamiques complexes allant des distributions homogènes de forêts, de prairies et de savanes, à des distributions hétérogènes d’arbres et d’herbes. Ces phys ionomies de végétations sont des traits caractéristiques des écosystèmes en zones humides et sont observées sur tous les continents. Le développement d’une meilleure compréhension de leur evolu tion spatio-temporelle est un enjeu d’importance écologique et socio-économique considérable, pour la régulation du climat mondial et de l’approvisionnement en matériaux nécessaires à l’homme. La modélisation mathématique est un outil utile pour décrire la dynamique de systèmes complexes, et plusieurs modèles mathématiques ont été consacrés à l’étude des dynamiques arbres-herbes dans les écosystèmes de savanes, mais ceci, avec une attention limitée sur les mécanismes spatiaux entre arbres et herbes. Ce travail, qui consiste en la modélisation et l’analyse via des équations aux dérivées partielles des dynamiques arbres/herbes dans les savannes humides, est divisée en deux parties princi pales. Dans la première partie, nous analysons un modèle spatio-temporel d’interactions arbres-herbes en zones de savanes humides. Ce premier modèle est basé sur deux équations de réaction-diffusion intégro-différentielles avec, dans la partie réaction du modèle des noyaux de compétition intra et inter spécifiques et un noyau agissant indirectement comme terme de facilitation en décrivant la réduction de la mortalité des arbres liée aux feux. La partie diffusion est modélisée via l’opérateur de Laplace. Une analyse qualitative de ce modèle révèle plusieurs seuils écologiques qui régulent la dynamique globale du modèle. Grâce à l’analyse de stabilité linéaire, le modèle rend compte de l’existence de solutions inhomogènes en espace. Ceci nous conduit à conclure que la présence conjointe de com pétition non-locale et facilitation non-locale conduit à une structuration spatiale périodique dans les savanes humides. Dans la deuxième partie de ce travail, nous considérons la dispersion non locale des graines pour décrire la propagation spatiale de la biomasse des arbres et des graminées. Nous remplaçons donc les opérateurs de Laplace par des opérateurs intégraux et nous nous focalisons sur l’existence d’une onde progressive reliant l’état stationnaire homogène de prairie à l’état stationnaire homogène de forêt. Une analyse qualitative de ce modèle de réaction-dispersion nous permet de car actériser, par une expression mathématique dépendant de plusieurs paramètres du modèle, la vitesse minimale de l’onde progressive qui contrôle l’avancée de la forêt dans la prairie. Ainsi nous par venons à la conclusion selon laquelle la longueur de dispersion des graines d’arbres et la fréquence des feux peuvent contrôler la vitesse de l’onde progressive.