Partial differential equations and numerical analysis on curved surfaces

Abstract

L’objectif de cette thèse est l’étude et les simulations numériques des équations aux dérivées partielles de type elliptique et leur analyse numérique sur des variétés différentielles et Lipschitzi ennes. Le travail a abouti à des simulations numériques montrant les applications potentielles du sujet qui vont de la diffusion de la chaleur à la modélisation du trafic routier. Premièrement, la définition rigoureuse d’une EDP sur une variété différentiable, la théorie de l’existence de solution à une telle EDP et leur approximation numérique sont données. Nous avons appliqué une discrétisation éléments finis P1 au problème de Poisson pour l’opérateur de Laplace Beltrami sur les surfaces compactes 2D immergées dans R3. Grâce à Dziuk [16], nous avons rap pelé l’existence et l’unicité de solutions pour les problèmes continus et discrets. Nous avons en suite investigué le conditionnement de l’opérateur élément fini. Nous avons ainsi donné une borne supérieure du conditionnement qui est similaire au cas Euclidien. Deuxièmement Nous avons étudié la formulation faible du problème de Poisson sur les variétés Lipschitziennes fermées. Les variétés Lipschitziennes n’admettent pas d’espaces tangents partout et la définition de l’opérateur de Laplace-Beltrami est plus technique que sur les variétés différentiables classiques [voir, par exemple, 22]. Ils apparaissent cependant naturellement après la triangulation d’une surface lisse à des fins de vision par ordinateur ou de simulation. Nous avons proposé une preuve des théorèmes de Stokes et de Green ainsi qu’une inégalité de type Poincaré sur les variétés Lipschitziennes. L’existence et l’unicité d’une solution faible du problème de Poisson est donnée dans ce nouveau cadre pour les problèmes continus et discrets. A titre d’exemple d’application, des résultats numériques sont donnés pour le problème de Poisson sur la frontière du cube unité.