Hankel and toeplitz operators on vector-valued bergman spaces

Abstract

Les opérateurs de Hankel et de Toeplitz sont deux classes naturelles d’opérateurs spécifiques sur des espaces de fonctions holomorphes. L’étude de ces opérateurs sur différents espaces de fonctions holomorphes n’est pas seulement motivée par les défis mathématiques qu’ils soulèvent, mais aussi par de nombreuses applications. La tâche principale de cette thèse est d’étudier la continuité et la com pacité des opérateurs de Hankel et de Toeplitz agissant sur les espaces de Bergman à poids à valeurs vectorielles Ap α(Bn,E) où p > 0, α > −1 et E est un espace Banach complexe. Nous étudions d’abord la continuité du petit opérateur de Hankel hb de Ap α(Bn,E) dans Aq α(Bn,F), où b : Bn → L(E,F) est un symbole holomorphe, E,F sont deux espaces de Banach complexes et 0 < p,q < ∞. Pour 1 <p,q <+∞, la caractérisation de la continuité du petit opérateur de Hankel entre les espaces de Bergman à valeurs vectorielles Ap α(Bn,E) et Aq α(Bn,F) a été obtenue par Oliver [52]. Nous avons amélioré son résultat dans le cas 1 < p < q < +∞. Nous avons aussi caractérisé les symboles pour lesquels le petit opérateur de Hankel s’étend en un opérateur continu dans le cas 0 < p,q ≤ 1. Le cas p >1 et q =1 reste ouvert même dans le cas classique (lorsque E = F = C). Nous avons caractérisé les symboles holomorphes b pour lesquels le petit opérateur de Hankel hb s’étend en un opérateur compact de Ap α(Bn,E) dans Aq α(Bn,F), où 1 < p ≤ q < +∞ et E,F sont deux espaces de Banach réflexifs. Dans la suite, si E et F sont deux espaces de Banach complexes, et α > −1, on considère l’opérateur de Toeplitz Tb de symbole b ∈ BMO1 α(Bn,L(E,F)). On montre que pour deux espaces de Banach complexes E,F l’opérateur de Toeplitz Tb est continu de A2 α(Bn,E) dans A2 α(Bn,F) si et seulement si sa transformée de Berezin b est bornée sur Bn. Lorsque E = F = Cd, où d ≥ 1 est un entier, on montre que pour b ∈ BMO1 α(Bn,L(Cd)), l’opérateur de Toeplitz Tb est compact sur A2 α(Bn,Cd) si et seulement si pour tout vecteur unitaire e ∈ Cd, b(z)e → 0 faiblement dans Cd quand |z| → 1−. Ce résultat stipule que la compacité des opérateurs de Toeplitz Tb de symbole b ∈ BMO1 α(Bn,L(Cd)), sur l’espace de Bergman à valeurs vectorielles A2 α(Bn,Cd) est entièrement déterminée par le com portement au bord de leurs transformées de Berezin