On the wave transmission in transversely connected nonlinear pendulum pairs

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions la dynamique de la propagation des ondes dans un système dynamique modélisé par une chaîne de pendules couplés reliée par des ressorts de torsion, où chaque paire est accrochée sur une chaîne horizontale commune. Tout d’abord, nous générons le phénomène de supratransmission nonlinéaire dans le modèle. En tenant compte que le déplacement angulaire d’une chaîne est proportionnel à l’autre, nous déduisons l’amplitude seuil de supratransmission homoclinique en utilisant le "2D map" qui est en accord avec les résolutions numériques; dans le cas où une seule chaîne est excitée. Nous considérons aussi le cas où les deux chaînes sont excitées et trouvons numériquement l’amplitude seuil de supratransmission des deux chaînes pour la même fréquence d’excitation tandis qu’une amplification du phonon est obtenue lorsque les deux chaînes sont excitées avec des fréquences prises dans différentes bandes. Le présent travail étend une compréhension du phénomène de supratransmission dans les systèmes couplés discrets. Deuxièmement, nous étudions le phénomène d’instabilité modulationnelle(IM) dans le même modèle. Se servant de l’équation obtenue en décrivant la dynamique du modèle, nous déduisons une équation couplée discrète de Schrödinger nonlinéaire en utilisant la méthode des échelles à pas multiple. Nous utilisons l’équation couplée obtenue pour étudier le phénomène d’instabilité modulationnelle. L’analyse de la stabilité linéaire nous permet d’obtenir le spectre de gain de l’IM. Il révèle que le spectre de gain de l’instabilité et lesRésumé xviii bandes de l’IM sont considérablement affectées par le paramètre de couplage transversal. Enfin, nous utilisons l’analyse de l’IM pour étudier la dynamique des solutions d’ondes planes instables générées numériquement. Ceci confirme que l’existence de l’IM dans le réseau conduit à la génération des trains d’impulsion périodiques localisés qui ont la forme d’un soliton. Enfin, nous étudions le phénomène de propagation des ondes dans le modèle. Utilisant l’équation décrivant la dynamique du modèle, nous déduisons la relation de dispersion linéaire qui nous aide à identifier le "mode rapide" comme le mode dans lequel nous serons focalisés. Puisque le système d’équation discret obtenu n’a pas été suffisamment étudié dans la littérature, nous supposons que les deux lignes du modèle sont proportion- nelles. Nous utilisons la méthode d’approximation des ondes rotatives pour déduire une équation de Schrödinger nonlinéaire qui régit la propagation des ondes dans le réseau. Selon le choix du nombre d’onde, nous déduisons que le système génère des solitons "bril- lants" et "sombres". Nous utilisons le soliton brillant obtenu comme condition initiale pour le calcul numérique; Ce qui démontre le rôle important du paramètre de couplage transversal dans le système. C’est-à-dire qu’il affecte le comportement du soliton brillant généré dans le système. La chaine génère un phénomène de perte et de gain au cours de la propagation des ondes.