Dynamique globale d’un plasma chargé évoluant avec collision en présence d’un champ scalaire massif sur l'espace-temps de Robertson-Walker

Abstract

Nous considérons le système couplé Einstein-Maxwell-Boltzmann avec constante cosmolo- gique en présence d’un champ scalaire massif. La métrique utilisée est celle de l’espace-temps plat de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker dans le cas spatialement homogène où les fonc- tions inconnues ne dépendent que du temps et non des variables spatiales (x ), i = 1, 2, 3. Après avoir présenté de façon détaillée les différentes équations du système, nous étudions le problème de compatibilitè et de conservation des équations d’Einstein. Nous établissons sous certaines hypothèses sur le noyau de collision (voir (1.5.14)), des inégalités de type Moser sur l’opérateur de collision Q dans l’espace de Sovolev à poids H (R ), puis une inégalité d’énergie pour la solution d’une classe d’E.D.P du premier ordre dans le même espace. En combinant la méthode des estimations d’énergie avec celle des caractéristiques, nous dédui- sons une solution locale de classe C de l’équation de Boltzmann en supposant que l’espace temps est entièrement déterminé. Les mêmes techniques sont utilisées par la suite pour éta- blir l’existence d’une solution locale (dans le temps) et de classe C du système couplé. En outre, sous l’hypothèse que les données initiales sont petites dans une certaine norme appro- priée et que la constante cosmologique satisfait Λ > −4π m Φ , nous obtenons une unique solution globale (dans le temps), (voir Théorème 3.2). Nous étudions par la suite quelques propriétés des solutions notamment la positivité de la solution de l’équation de Boltzmann, la stabilité de la solution du système couplé et la complétude géodésique de l’espace-tem