Implémentation d’une récurrence du chat d’Arnold à grande période en dimension 4 sur 2 bits

Abstract

Les systèmes chaotiques sont très sollicités dans la synthèse des algorithmes de cryptographie, en raison de leur ergodicité, sensibilité aux conditions initiales, et propriété de mixage. Cependant, l’usage des systèmes numériques en cryptographie moderne requiert que les trajectoires chaotiques soient digitalisées, ce qui entraine leur périodisation. Lorsqu’en plus les périodes des orbites apparemment chaotiques sont courtes comme c’est souvent le cas, le cryptogramme devient vulnérable, ne garantissant plus de ce fait la sécurité des données cryptées. De plus, l’architecture de ces systèmes dans la plupart des cas impose d’effectuer en deux étapes différentes les deux opérations fondamentales en cryptographie moderne que sont la confusion et la diffusion, ce qui contribue à augmenter le temps de chiffrement. Dans le but de limiter la dégradation de la sécurité due à la numérisation des orbites chaotiques, nous proposons dans ce travail d’implémenter la récurrence d’Arnold linéaire par morceau (RALM) en dimension 4 (4D) dont la période est grande par rapport au système d’Arnold classique. Après analyse, il en résulte que le système 4D de la RALM ainsi conçu présente une période de l’ordre de 108 pour une précision de 4 bits et 360 pour une précision de 2 bits. Comparé au système classique d’Arnold dont la période n’est que 3 pour une précision de 2 bits et 12 pour une précision de 4 bits, le système proposé permet d’améliorer la sécurité des cryptosystèmes tout en donnant la possibilité de les embarquer, grâce à la faible précision requise pour atteindre de grandes périodes. Contrairement aux systèmes usuels utilisant une précision de 32 bits en virgule flottante, le choix d’une faible précision dans notre approche permet de réduire le coût matériel, le temps de calcul, ainsi que la consommation d’énergie. Pour vérifier l’efficacité du système 4D codé sur 4 bits, un algorithme de cryptographie l’incluant est proposé. En effet, le système proposé combine les opérations de confusion et de diffusion en une seule étape, ce qui lui permet de gagner en temps de calcul. Cette combinaison est rendue possible grâce à une transformation linéaire qui décompose les valeurs de pixels. La particularité d’un tel cryptosystème est son espace de clef extensible qui lui permet de prévenir les attaques futures à l’ère des ordinateurs quantiques. Lors des tests statistiques faits sur le cryptosystème, nous avons obtenu en moyenne un NPCR de 99,6078, un UACI de 33,4238 et une entropie de 7,994 en utilisant une image en niveau de gris de taille 512£512 pixels. Pour davantage réduire le coût matériel et le temps de calcul, un algorithme de cryptographie incluant la RALM en dimension 4, mais codée sur 2 bits est proposé. Le cryptosystème proposé sur 2 bits obéit au même principe de chiffrement que celui de 4 bits avec également une possibilité d’extension de l’espace des clefs, permettant ainsi de guarantir la robustesse du cryptosystème. Les tests statistiques effectués sur ce cryptosystème ont donné en moyenne, un NPCR de 99,6078, un UACI de 33,4836 et une entropie de 7.997, pour une image de 512£512 pixels, ce qui prouve sa robustesse contre les attaques connues.