The inhomogeneous relativistic Boltzmann equation in a Bianchi type I space-time for soft potentials, hard potentials and with Israel particles

Abstract

Dans ce travail nous considérons le problème de Cauchy pour l’équation de Boltzmann d’abord spatialement homogène et ensuite l’équation de Boltzmann non homogène avec des conditions initiales petites. L’espace-temps dans lequel nous travaillons est l’espace-temps de Bianchi de type I. Avec des hypothèses sur le noyau de collision et sur la métrique de l’espace-temps, une solution unique et globale (dans le temps) est obtenue dans un espace fonctionnel à poids convenable; notamment pour les particules d’Israël, les potentiels durs et les potentiels mous. Le grand enjeu dans ce travail est d’une part, le calcul des dérivées des variables d’impulsion et leurs estimations selon une forme spécifique qui permettrait de surmonter les problèmes générés par les singularités, et d’autres parts l’élaboration des inégalités d’énergie qui sont cruciales dans la construction des théorèmes d’existence des solutions. Pour établir les théorèmes d’existence globale nous avons commencé par établir le théorème d’existence locale en prenant des conditions initiales petites qui permettent de borner la solution locale et ses dérivées d’ordre 1; cela nous permet d’étendre cette solution locale en une solution globale. Pour construire le théorème d’existence locale nous construisons une suite de solutions de l’équation linéarisée et nous démontrons qu’elle est convergence et bornée uniformément.